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如何證明面面垂直？

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如何證明面面垂直？

文章插圖
定義：若兩個平面的二面角為直二面角(平面角是直角的二面角)，則這兩個平面互相垂直 。
【如何證明面面垂直？】定理
一個平面過另一平面的垂線，則這兩個平面相互垂直 。
幾何描述:若a⊥β，a?α，則α⊥β
證明:任意兩個平面關系為相交或平行，設a⊥β，垂足為P，那么P∈β
∵a?α，P∈a
∴P∈α
即α和β有公共點P，因此α與β相交 。
設α∩β=b，∵P是α和β的公共點
∴P∈b
過P在β內作c⊥b
∵b?β，a⊥β
∴a⊥b，垂足為P
又c⊥b，垂足為P
∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角
∵c?β
∴a⊥c，即∠aPc=90°
根據面面垂直的定義，α⊥β
推論1
如果一個平面的垂線平行于另一個平面，那么這兩個平面互相垂直 。
已知α⊥a，a∥β，求證α⊥β
證明:過a任意作一個平面γ與β相交，設交線為c
∵a∥β
∴a∥c(線面平行的性質定理)
∵a⊥α
∴c⊥α(線面垂直的性質定理)
∵c?β
∴β⊥α(定理1)
推論2
如果兩個平面的垂線互相垂直，那么這兩個平面互相垂直 。(可理解為法向量垂直的平面互相垂直)
證明:設有a⊥α，b⊥β，且a⊥b
則根據線面平行的判定定理，有a∥β
∵a⊥α
∴α⊥β(推論1)
這些定理和推論都是向量法解題的基礎，例如向量法解得一個平面的法向量與另一個平面平行，那么這兩個平面就垂直 。
三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直 。
已知:α⊥β，β⊥γ，γ⊥α，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c
求證:a⊥b，a⊥c，b⊥c
證明:∵α∩β=a，α⊥γ，β⊥γ
∴a⊥γ(定理3)
∵b?γ，c?γ
∴a⊥b，a⊥c
同理可證b⊥c
面面垂直的判定定理：一個平面過另一平面的垂線，則這兩個平面相互垂直 。如果一個平面的垂線平行于另一個平面，那么這兩個平面互相垂直 。如果兩個平面的垂線互相垂直，那么這兩個平面互相垂直 。
面面垂直的判定定理
1、在一個平面內做2條相交直線，另一個平面內有一條直線垂直于這兩條相交直線，則面面垂直 。
2、如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面，則面面垂直 。
3、如果一個平面經過另一平面的垂線，則這兩個平面相互垂直 。
面面垂直的證明方法
1、定義法：如果兩個平面所成的二面角為90deg，那么這兩個平面垂直 。
2、判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直 。
3、如果一個平面內任意點在另外一個平面的射影均在這兩個平面的交線上，那么垂直 。
4、如果N個互相平行的平面有一個垂直于一個平面，那么其余平面均垂直這個平面 。
1.如果兩個平面相互垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面 。
2.如果兩個平面相互垂直，那么經過第一個平面內的一點作垂直于第二個平面的直線在第一個平面內 。
3.如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面 。
4.如果兩個平面互相垂直，那么一個平面的垂線與另一個平面平行 。
直線與平面垂直的判定定理（線面垂直定理）：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直 。
推論1：如果在兩條平行直線中，有一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面 。
推論2：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行 。
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