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數學對數公式

生活百科對數


數學對數公式

文章插圖
用^表示乘方 ， 用log(a)(b)表示以a為底 ， b的對數
*表示乘號 ， /表示除號
定義式：
若a^n=b(a0且a1)
則n=log(a)(b)
基本性質：
1.a^(log(a)(b))=b
2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)
3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)
4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
推導
1.這個就不用推了吧 ， 直接由定義式可得(把定義式中的[n=log(a)(b)]帶入a^n=
用^表示乘方 ， 用log(a)(b)表示以a為底 ， b的對數
*表示乘號 ， /表示除號
定義式：
若a^n=b(a>0且a≠1)
則n=log(a)(b)
基本性質：
1.a^(log(a)(b))=b
2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)
3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)
4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
推導
1.這個就不用推了吧 ， 直接由定義式可得(把定義式中的[n=log(a)(b)]帶入a^n=b)
2.
MN=M*N
由基本性質1(換掉M和N)
a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]*a^[log(a)(N)]
由指數的性質
a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}
又因為指數函數是單調函數 ， 所以
log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)
3.與2類似處理
MN=M/N
由基本性質1(換掉M和N)
a^[log(a)(M/N)]=a^[log(a)(M)]/a^[log(a)(N)]
由指數的性質
a^[log(a)(M/N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}
又因為指數函數是單調函數 ， 所以
log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)
4.與2類似處理
M^n=M^n
由基本性質1(換掉M)
a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n
由指數的性質
a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}
又因為指數函數是單調函數 ， 所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
其他性質：
性質一：換底公式
【數學對數公式】log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)
推導如下
N=a^[log(a)(N)]
a=b^[log(b)(a)]
綜合兩式可得
N={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
又因為N=b^[log(b)(N)]
所以
b^[log(b)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
所以
log(b)(N)=[log(a)(N)]*[log(b)(a)]{這步不明白或有疑問看上面的}
所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)
性質二：（不知道什么名字）
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推導如下
由換底公式[lnx是log(e)(x),e稱作自然對數的底]
log(a^n)(b^m)=ln(a^n)/ln(b^n)
由基本性質4可得
log(a^n)(b^m)=[n*ln(a)]/[m*ln(b)]=(m/n)*{[ln(a)]/[ln(b)]}
再由換底公式
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
如果a(a>0 ， 且a≠1)的b次冪等于N ， 即ab=N ， 那么數b叫做以a為底N的對數 ， 記作：logaN=b ， 其中a叫做對數的底數 ， N叫做真數.
由定義知：
①負數和零沒有對數；
②a>0且a≠1 ， N>0；
③loga1=0 ， logaa=1 ， alogaN=N ， logaab=b 。
對數的運算法則：
1、log(a) (M·N）=log(a) M+log(a) N
2、log(a) (M÷N)=log(a) M-log(a) N
3、log(a) M^n=nlog(a) M
4、log(a)b*log(b)a=1
5、log(a) b=log (c) b÷log (c) a
指數的運算法則：
1、[a^m]×[a^n]=a^(m＋n) 【同底數冪相乘 ， 底數不變 ， 指數相加】
2、[a^m]÷[a^n]=a^(m－n) 【同底數冪相除 ， 底數不變 ， 指數相減】
3、[a^m]^n=a^(mn) 【冪的乘方 ， 底數不變 ， 指數相乘】
4、[ab]^m=(a^m)×(a^m) 【積的乘方 ， 等于各個因式分別乘方 ， 再把所得的冪相乘】

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