1. 首頁 > 生活百科 > >

柯西數列的定義是什么?

生活百科數列


柯西數列的定義是什么?

文章插圖
柯西收斂原理”是數學分析中的一個重要定理之一，這一原理的提出為研究數列極限和函數極限提供了新的思路和方法 。
在有了極限的定義之后，為了判斷具體某一數列或函數是否有極限，人們必須不斷地對極限存在的充分條件和必要條件進行探討 。在經過了許多數學家的不斷努力之后，終于由法國數學家柯西（Cauchy）獲得了完善的結果 。下面我們將以定理的形式來敘述它，這個定理稱為“柯西收斂原理” 。
定理敘述：
【柯西數列的定義是什么?】數列{xn}有極限的充要條件是：對任意給定的ε>0，有一正整數N，當m,n>N時，有|xn-xm|<ε成立
將柯西收斂原理推廣到函數極限中則有：
函數f(x)在無窮遠處有極限的充要條件是：對任意給定的ε>0，有Z屬于實數，當x,y>Z時，有|f(x)-f(y)|<ε成立
此外柯西收斂原理還可推廣到廣義積分是否收斂，數項級數是否收斂的判別中，有較大的適用范圍 。
證明舉例：
證明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)]/n 有極限
證：對于任意的m,n屬于正整數，m>n
|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
當m-n為奇數時 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m
=（1/n-1/m）→0
由柯西收斂原理得{xn}收斂
當m-n為偶數時 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m
=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0
由柯西收斂原理得{xn}收斂
綜上{xn}收斂，即{xn}存在極限
在大于某個特定的項數n之后，任選兩個項的絕對值總會小于一個數（該數值不確定，但恒大于零），則這個數列就是基本數列（收斂數列） 。“柯西準則”又稱“柯西收斂原理”，是一個數列極限存在的充要條件 。
條件：對于任意小數ε＞0，存在自然數N，當n>N且n'>N時，有｜xn-xn'|<ε；
結論：數列｛xn}有極限x，即對于任意小數ε＇＞0，存在自然數N'，當n>N'時，有｜xn-x|<ε＇ 。
柯西極限存在準則應用
柯西極限存在準則是用來判斷某個式子是否收斂的充要條件（不限于數列），主要應用在以下方面：
（1）數列 。
（2）數項級數 。
（3）函數 。
（4）反常積分 。
（5）函數列和函數項級數 。
1.對于在某度量空間內的柯西序列，它的極限不一定在相同的度量空間內 。如有理柯西序列可導出無理極限 。（事實上，一種實數構造就是用這種方法）
2.任何收斂列必然是柯西列，任何柯西列必然是有界序列 。

    推薦閱讀