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協方差cov計算公式及特點 協方差cov計算公式

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方差cov計算公式=cov(x，y)=EXY-EX×EY 。在概率論和統計學中，協方差用于衡量兩個變量的總體誤差 。方差是協方差的一種特殊情況，即當兩個變量相同時 。
協方差定義為
COV（X，Y）=E［（X-E（X））（Y-E（Y））］等價計算式為COV（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y） 。例如：Xi 1.1 1.9 3Yi 5.0 10.4 14.6E(X) = (1.1 1.9 3)/3=2E(Y) = (5.0 10.4 14.6)/3=10E(XY)=(1.1×5.0 1.9×10.4 3×14.6)/3=23.02(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=23.02-2×10=3.02擴展數據：協方差公式推導cov(X,Y)=∑ni=1(XiX)(YiY)n=E[(XE[X])(YE[Y])]cov(X,Y)=∑i=1n(XiX)(YiY)n=E[(XE[X])
補充
直觀地說，協方差表示對兩個變量整體誤差的期望 。如果其中一個大于他們自己的期望，另一個大于他們自己的期望，兩個變量之間的協方差是正的 。
如果一個變量大于自己的期望，另一個小于自己的期望，那么兩個變量之間的協方差就是負值 。如果X和Y是獨立統計的，那么兩者之間的協方差是0，因為兩個獨立的隨機變量滿足E[XY]=E[X]E[Y] 。
協方差的特點
在兩種情況下，協方差距為1萬倍，只能從兩個協方差異為正數判斷X、Y都是同向變化，但是在兩種情況下，X根本看不到 。、Y的變化具有相似性的特點 。
相關系數是協方差除以標準差 。當X和Y的波動范圍變大時，協方差變大，標準差變大，相關系數的分母變大 。事實上，變化趨勢是可以抵消的 。協方差的值范圍是 正無窮到負無窮，相關系數是 1 到-1之間 。

協方差cov計算公式及特點 協方差cov計算公式

文章插圖
舉例
Xi 1.1 1.9 3
Yi 5.0 10.4 14.6
E(X) = (1.1 1.9 3)/3=2
E(Y) = (5.0 10.4 14.6)/3=10
E(XY)=(1.1×5.0 1.9×10.4 3×14.6)/3=23.02
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=23.02-2×10=3.02
另外：還可以計算：D(X)=E(X^2)-E^2(X)=(1.1^2 1.9^2 3^2)/3 - 4=4.60-4=0.6 σx=0.77
D(Y)=E(Y^2)-E^2(Y)=(5^2 10.4^2 14.6^2/3-100=15.44 σy=3.93
X,Y的相關系數
【協方差cov計算公式及特點 協方差cov計算公式】r(X,Y)=Cov(X,Y)/(σxσy)=3.02/(0.77×3.93) = 0.9979

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