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「不可能的數字：復數」-圖解數學

生活百科概念

復數(Complex)作為實數的拓展歷史悠久, 一度曾被叫做不可能的數字(“子虛烏有的數”), 直到十八世紀初經過棣莫弗及歐拉大力推動, 才被數學家們漸漸接受.
確實理解復數確實需要一點時間, 不過它并不復雜, 而且利用它還能畫出非常美麗的變換和分形圖形, 這次讓我們用圖形的方式來認識這個概念.
先來它怎么是實數延伸呢? 來把目光聚焦在實數軸上看看兩個數字之間加減乘除這 4 種運算. 觀察到紅藍兩個點(數), 在不同的計算下, 其結果綠點也隨之移動, 總還落在數軸上. (除法分母為 0 時候, 當然無意義)
并且我們注意到任何實數乘以 -1 的結果都會落在關于原點對稱相應的位置上. 乘以 -1 的操作可以理解為該點(數)繞著 0 旋轉了半圈.
數學家進一步思考, 既然對于實數(比如 1)乘以 -1 是轉動 180°, 那么只轉動了 90°, 結果會落在哪里? 會不會有什么意義呢?
后來挪威測量學家韋塞爾考慮到數 1 轉動兩次 90° 會剛好到 -1 ( 1*i*i ). 所以認為 -1 的平方根是相應于 1 的一個 90度的旋轉, 是虛數單位, 成為之 i . 于是有著性質:
這個沒在實數軸上奇怪的點實際上落在復數平面(complex plane)上了, 所有在復平面上的數都滿足 z=a+b i 這樣的結構, 稱之為復數. 其中 a 稱為實部(real part), b 為虛部(imaginary part).
直角坐標平面是二維的, 需要兩個數 (x,y) 來描述任意一點的位置, 但現在只用一個復數就夠了, 可以用實數組 (a,b) 代表這個復數 a+b i, 并且可以在復平面上繪制出來. 這里還有三個新概念需要知曉:
復數的模(modulus, 通常寫為 |z|)

輻角(argument, 通常寫為 arg(z))
復數的共軛(conjugate,通常寫為下面形式)
復數的模就是它長度 r - 原點和 z 點之間的距離. 輻角 φ 就是與實軸的夾角, 共軛就是 a-b i 的形式. 觀察下圖可以更好理解:
下來看看復數是如何進行加減乘除運算, 比如可以兩兩相加, 也就是兩個復數實部和虛部分別對應相加, 可以看成是平移.
【「不可能的數字：復數」-圖解數學】復數也可以有數乘運算(放大縮小):
復數的乘法, 如果只乘以 i 相當于這個復數轉動四分之一圈:
z1*z2 兩個復數相乘其實就是旋轉+伸縮, 相等于兩個復數的模相乘(伸縮大小), 輻角相加(旋轉量).
如果對圖片中的每一點做復數運算的變換, 可以得到各種有趣的平面變換圖像. 這里為了紀念歐拉大神310年誕辰, 就以他老人家頭像為例, 比如做乘以 2 i 的函數變換 - 旋轉 90°, 同時放大了2倍：

變換函數為三次方, 考慮為什么會變成這個形狀呢? :-)
上面就是制作的圖解數學知識點中復數的案例. 好了, 現在讓我們在下一篇的中來看一看其他高中數學相關概念的動圖.
因為本人水平有限, 疏忽錯誤在所難免, 所以還請各位老師和朋友不吝賜教, 多提寶貴意見, 幫助我改進這個系列. 感謝關注! Thanks!

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