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2021年新高考一卷數學壓軸題,難度大,第二種解法太絕了

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2021年高考，江蘇、山東、湖南、湖北、河南、廣東、福建七個省份使用新高考全國一卷 。新高考全國一卷的數學卷相對于全國甲卷和乙卷的數學卷還是有不小的變化 。這個變化主要體現在三點：一是不分文理科；二是將4道單選題改為了多選題；三是取消了選做題，22道
2021年高考，江蘇、山東、湖南、湖北、河南、廣東、福建七個省份使用新高考全國一卷 。新高考全國一卷的數學卷相對于全國甲卷和乙卷的數學卷還是有不小的變化 。這個變化主要體現在三點：一是不分文理科；二是將4道單選題改為了多選題；三是取消了選做題，22道題均為必做題 。

2021年新高考一卷數學壓軸題,難度大,第二種解法太絕了

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本文和大家分享的就是今年新高考全國一卷的數學壓軸題，也是全卷最后一題 。這道題還是考查導數的綜合應用，看似簡單實則難度很大，特別是第二問，本文和大家分享第二問的兩種解法，第二種解法真的太絕了 。
2021年新高考一卷數學壓軸題,難度大,第二種解法太絕了

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先看第一問：判斷單調性 。
在這種壓軸題判斷單調性，一般是先求導，再根據導數的正負確定單調性，即導數大于零為增函數，導數小于零為減函數 。
所以先對f(x)求導：f\\\'(x)=1-lnx+x(-1/x)=-lnx 。明顯地，當0＜x＜1時，lnx＜0，則-lnx＞0，此時f(x)為增函數；當x＞1時，-lnx＜0，此時f(x)為減函數 。
2021年新高考一卷數學壓軸題,難度大,第二種解法太絕了

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再看第二問：證明不等式 。
首先對題干中的等量關系進行變換，即blna-alnb=a-b變換成[1-ln(1/a)]/a=[1-ln(1/b)]/b 。變換過后容易發現，1/a、1/b都是函數f(x)中函數值相等的點的橫坐標 。所以接下來就需要代入f(x)進行求解 。
先令m=1/a，n=1/b，則f(m)=f(n)，所證結論就變為2＜m+n＜e，即2-m＜n＜e-m 。由于a≠b，所以m≠n 。然后設m＜n，則有0＜m＜1且n＞1 。
【2021年新高考一卷數學壓軸題,難度大,第二種解法太絕了】先證結論的前半部分，即2-m＜n 。要證這個結論，可以利用f(x)的單調性，但是需要在同一個單調區間內使用 。所以需要構造一個新函數g(x)=f(x)-f(2-x)，0＜x＜1 。求導后知道g(x)在(0,1)內為增函數，且0＜m＜1，所以g(m)＜g(1)=0，從而得到f(m)＜f(2-m) 。
又因為f(n)=f(m)，所以f(n)＜f(2-m) 。
又0＜m＜1，所以2-m＞1，且n＞1，f(x)在x＞1上為減函數，所以n＞2-m，即m+n＞2 。
2021年新高考一卷數學壓軸題,難度大,第二種解法太絕了

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再證結論的后半部分 ?？梢圆捎蒙厦嬉粯拥姆椒ㄗC明，只是構造的函數變成了h(x)=f(x)-f(e-x) 。詳細過程見下圖：
2021年新高考一卷數學壓軸題,難度大,第二種解法太絕了

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后半部分的證明除了上面構造函數的方法，下面再介紹一個不容易想到但計算更簡單的方法 。
由于當x從右邊趨近于0時，f(x)的極限為0，所以1＜n＜e 。
又f(x)在點(e,0)處的切線方程為：φ(x)=-x+e，接下來構造新函數ψ(x)=f(x)-φ(x)=2x-xlnx-e(0＜x＜e) 。然后通過求導判斷單調性得到ψ(x)＜0，即f(x)＜φ(x)，則有f(m)＜φ(m)，即f(n)＜φ(m) 。
又1＜n＜e，所以f(n)=n(1-lnn)＞n，即n＜φ(m)=-m+e，所以m+n＜e 。
2021年新高考一卷數學壓軸題,難度大,第二種解法太絕了

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這道題第一問屬于基礎題，第二問的難度還是比較大，你會做嗎？

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