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將軍飲馬何意？在幾何上是求最值的模型,它是解答難題的鑰匙

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前言：記得去年一位初三畢業生發信息給我 ， 咨詢關于求三角形周長最值的問題 。于是利用空閑時間 ， 把題目抄下來 ， 經過思考 ， 翻閱資料 ， 才知道這種類型的題目被冠以“將軍飲馬圖”幾何問題 ?？紤]到很多學生對此問題迷茫 ， 甚至冥思苦想幾天 ， 也不知道該怎么解答這類

前言：記得去年一位初三畢業生發信息給我 ， 咨詢關于求三角形周長最值的問題 。于是利用空閑時間 ， 把題目抄下來 ， 經過思考 ， 翻閱資料 ， 才知道這種類型的題目被冠以“將軍飲馬圖”幾何問題 ?？紤]到很多學生對此問題迷茫 ， 甚至冥思苦想幾天 ， 也不知道該怎么解答這類幾何題 ， 于是下定決心 ， 寫一篇文章 ， 專門講解這類的幾何知識 。
圖1
將軍飲馬有一個典故 ， 乃是講到唐朝詩人李欣的《古從軍行》中有這么一句話：“白日登山望烽火 ， 黃昏飲馬傍交河 ?！边@里面隱含著飲馬圖的基本模型 ， 下圖就是這個模型的初始圖片 。該圖片之中 ， 將軍從山峰A點出發 ， 走到營地B宿營 ， 怎么走才是最短的距離？當然兩點之間最短的距離是線段 。而實際上最短距離是山峰到營地不是直線距離 ， 這就要用到”將軍飲馬圖“的原理 。
本文根據《學而思幾何模型》改編而來 ， 有興趣的朋友建議買一套學而思書籍 ， 認真閱讀 ， 定會有很大收獲 。
一、將軍飲馬圖的初始模型
這種例子比較簡單 ， 就是兩點之間最短的距離是直線 。兩點之間線段最短是一個公理 。又名線段公理 。雖然聽起來很簡單 ， 似乎也很好懂 ， 但這是飲馬圖的最基本概念 ， 其它的模型都是由此而產生的 ， 這個公理和三角形中兩邊距離大于第三邊是一個意思 。
圖2
兩點之間有無數的連線 ， 理論上來說可以是兩條線段 ， 或者更多的線段 ， 甚至有很多有弧度的線條 ， 但是最短的是線段 。這種情況乃是指兩點位于某條直線的兩側 ， 直接連接兩點就可以構成一條線段 。
二、兩點到線段同側線段的最短距離
有時候 ， 兩點不是在線段的兩側 ， 乃是在線段的兩側 ， 要求兩點到某條直線的最短距離 ， 怎么求呢？這樣的距離有很多組 ， 可是只有一組是最短距離 ， 求法還是根據飲馬圖原理 。
圖3
根據兩點之間距離最短 ， 因此要設法找到這樣的點 ， 可以過某一點作直線的對稱點 ， 然后連接這個對稱點和另外一點 ， 這個對稱點到某點的直線距離就是要求的線段長度 。細心的讀者會發現 ， 這種類型的作圖法有兩種 ， 而且這兩種所求的答案是一樣的 ， 如果把兩點的對稱點和這兩點首尾相連 ， 會構成一個等腰梯形 ， 兩條對角線是相等的 。
三、三角形周長的最小值
設P為某角內一點 ， 在射線l1,l2上分別找點M,N使得△PMN的周長最小 。
圖4
【將軍飲馬何意？在幾何上是求最值的模型,它是解答難題的鑰匙】這個題目中有兩個動點M、N ， 難度明顯加大 ， 解題方法仍然是按照飲馬圖的要求來解答 ， 還是設法把三條線段湊到一條線段上 ， 有了這樣的解題思路 ， 解答題目就變得輕松 ， 不再困難 。這里有一個關鍵點 ， 就是怎么找對稱點 ， 方法是以P點為對稱點 ， 分別作l1,l2的對稱點 。然后連接兩個對稱點 。這兩個點和l1,l2分別有交點 ， 可以證明這兩個對稱點的連接線就是三角形的周長的最小長度 。同樣的道理 ， 可以求出四邊形的最小周長 。
圖5
下面有一道題目是根據飲馬圖原理而編出來的試題 ， 看一下自己能否解答出來 ， 如果解答不出來 ， 可以私信給我 ， 要答案 ， 如果解答出來 ， 可以找我對答案 。
圖6
以上介紹飲馬圖常見的幾何知識 ， 還有一些知識 ， 沒有在文章中列出 ， 如果想要 ， 請在下面留言 ， 本人一定把相關知識告訴您 ， 如果您對飲馬圖幾何知識還有什么其它疑問 ， 請在下面留言 。

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