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半圓的面積公式小學 半圓形面積公式( 二 )

公式面積半圓形


【半圓的面積公式小學 半圓形面積公式】眾所周知，幾何中有三個著名的問題，它們是:
1.角度三等分，把給定的角度分成三個等角問題；
2.將立方體加倍，求體積是已知立方體兩倍的立方體的邊長；
3.把圓變成正方形，找到與給定圓面積相同的正方形問題 。
其中，圓轉方的問題就源于此 。
公元前5世紀，當希波克拉底成功地將一條名為“新月”的曲線繪制成正方形時，全世界都目瞪口呆 。
圖8
由于希波克拉底在計算新月面積上的成功，希臘數學家對“化圓為方”的問題非常樂觀，仿佛勝利的曙光就在眼前 。據說希波克拉底本人聲稱他可以計算圓的面積 。然而，戲劇性的是，在2000多年后的1882年，德國數學家費迪南德·林德曼(1852-1939)成功而清晰地證明了將圓變成正方形是不可能的 。這真是一個漫長、曲折、戲劇性的結果 。
林德曼對π是超越數的證明，引出了圓不可能變成正方形的證明，這超出了本文的討論范圍 。
最后，我們附上希波克拉底新月面積定理的證明如下 。他的證明是如此簡單和聰明 。
【定理】新月形AECF可用等面積正方形表示 。
圖9
【證明】因為∠ACB是半圓的圓周角，∠ACB是直角 。根據邊和角的同余定理，三角形AOC和BOC是全等的，所以AC=BC 。然后，我們應用勾股定理(勾股定理)來得到
因為AB是半圓ACB的直徑，AC是半圓AEC的直徑，我們可以應用上面的第三個結論，即得到
也就是說，半圓形AEC的面積是半圓形ACB的一半 。
現在讓我們看看四分之一圓AFCO 。顯然，這個四分之一圓也是半圓ACB面積的一半 。由此，我們可以直接得出結論
面積(半圓AEC)=面積(四分之一圓AFCO)
最后，我們只需要從這兩個數字中減去它們共同的AFCD，即
區域(半圓形AEC)-區域(AFCD部分)
=面積(四分之一圈AFCO)-面積(AFCD部分)
從圖中我們可以很快看出其余的是
面積(新月形AECF)=面積(△ACO)
我們知道，我們可以做一個面積等于三角形面積的正方形，這樣就等于AECF新月的面積 。這就是把新月變成正方形的問題 。鄭璧
上圖，希波克拉底只發現了一個特殊的新月形區域 。有趣的是，并不是所有的月牙形都能變成等面積的正方形 。1771年，偉大的數學家歐拉(1707-1783)發現了另外兩種可以用等面積正方形表示的新月形 。直到20世紀，N.G. Chebatoru和A.W. Dorodno證明了只有五種月牙形可以用等面積正方形來表示！所有其他類型的新月形狀，像圓形，不能變成等面積的正方形 。
最后需要注意的是，根據希波克拉底特殊新月定理的證明，我們可以很容易地證明以下更一般的新月定理 。
【月牙定理】如果以直角三角形的兩條直角邊為直徑向外做兩個半圓，以斜邊為直徑向內做半圓，那么三個半圓圍成的兩個月牙形面積之和等于直角三角形的面積 。
圖10
即兩個黃色月牙形面積之和等于灰色直角三角形的面積 。作為練習，請在自己完成證明過程之前閱讀 。
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